До открытия школы
3
1
3
дней
Хочу в «Летово»
Хочу в «Летово»
Последние посты

Исследовательские задачи по математике в российской школе

17 Мая 2017

Введение

В данной статье обсуждается применение особого типа задач (так называемых «исследовательских задач») при обучении математике. Общепризнано, что решение задач – это главный метод не только обучения собственно математике, но также развития критического и творческого мышления учеников. В последнее время в российской школе помимо задач классического типа стали использоваться задачи иного типа, которые в России получили название «исследовательские задачи». Некоторые преимущества таких задач, а также трудности их использования будут обсуждены ниже.

Два примера

Начнём с примера двух уроков, на первом из которых использована классическая задача, а на втором – исследовательская задача на ту же тему.

Классическая задача. В трапеции АВСD диагонали пересекаются в точке О. Основания трапеции ВС и АD равны 4 см и 8 см соответственно, а высота трапеции равна 6 см. Найдите площадь треугольника ВСО (рисунок 1).

Решение этой задачи требует от учеников сделать следующие шаги:
1. Увидеть, что треугольники ВСО и АОD подобны, и обосновать их подобие.
2. Найти коэффициент подобия из данных задачи (он равен отношению оснований, то есть 2).
3. Найти высоту треугольника ВСО, проведённую к основанию ВС, используя тот факт, что отношение соответственных высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия (значит, точка О делит высоту, проходящую через неё, на отрезки равные 2 см и 4 см).
4. Используя известную формулу, найти площадь треугольника ВСО (4 см2).

Рисунок 1
Рис.1

Это пример хорошей учебной задачи, где наряду с использованием известных фактов (признаки подобия треугольников, свойства подобных треугольников, формула площади треугольника) ученику необходимо самому найти ход решения задачи, который не следует с очевидностью из условия задачи. Подробное решение такой задачи (включая его запись) займёт на уроке 10–15 минут в зависимости от того, насколько быстро ученики найдут идею решения. Если ученик успешно решает такую задачу самостоятельно, то мы можем констатировать, что он достаточно прочно усвоил базовые геометрические факты, умеет их применять и решать в некоторой степени нестандартные задачи.

Теперь приведём пример исследовательской задачи на эту же тему.

Не жёстко заданная трапеция
В трапеции заданы её основания и высота. Что из ниже перечисленного можно найти по этим данным?
1) Длины боковых сторон.
2) Расстояние между серединами боковых сторон.
3) Длины диагоналей.
4) Расстояние между серединами диагоналей.
5) Площади треугольников, на которые трапецию разбивают диагонали.
6) Боковые стороны продлили до точки пересечения. Что ещё можно найти в этой конструкции?
7) Что изменится в ответах на вопросы 1–6, если дополнительно задать один из углов трапеции?
8) Что изменится в ответах на вопросы 1–6, если дополнительно задать боковую сторону трапеции (углы трапеции не заданы)?

По опыту известно, что даже сильные школьники, решив конкретную задачу на не жёстко заданной конструкции, не всегда понимают, что в этой конструкции можно найти (то есть что инвариантно относительно возможных изменений), а что нет. Иными словами, формальное решение классической задачи часто не даёт полного понимания ситуации.

Если после верного решения приведённой выше классической задачи на нахождение площади треугольника ВОС мы спросим учеников, можно ли в условиях этой задачи найти длину диагонали, то, скорее всего, наш вопрос будет для учеников совершенно новой задачей, так как, решая первую задачу, они не задумывались о ситуации в целом.

Приведённая выше исследовательская задача направлена как раз на полное понимание заданной геометрической конструкции. Вопросы поставлены так, чтобы ученик смог определить все её основные инварианты. Такая постановка задачи приводит к тому, что от статического взгляда на геометрическую задачу ученики должны перейти к динамическому. Если высота трапеции задана, то основания трапеции должны лежать на двух параллельных прямых, находящихся на данном расстоянии друг от друга. Если мы мысленно закрепим одно из оснований на одной параллельной прямой, то второе основание может свободно перемещаться вдоль другой прямой. Задача – выяснить, какие величины останутся неизменными при таком перемещении. В результате такой переформулировки условия первые три пункта задачи решаются легко: длины боковых сторон и диагоналей очевидно изменяются при перемещении одного из оснований, а длина средней линии – нет.

Пункты 4) и 5) более сложные, кроме того, результат пункта 5) противоречит нашей интуиции: несмотря на то что длины диагоналей и боковых сторон изменяются, площади треугольников остаются неизменными. Обычно этот неожиданный результат вызывает большой эмоциональный отклик. Интересно, что удивление по этому поводу возникает даже после того, как ученик первоначально решил задачу в классическом варианте, то есть нашёл конкретную площадь треугольника ВСО.

Пункт 6) позволяет школьникам самим выбирать объекты, которые являются кандидатами на инварианты данной конструкции (например, расстояние от точки пересечения продолжений сторон до оснований трапеции). Этот пункт ещё сложнее предыдущих, так как в нём больше свободы, а тем самым больше неопределенности.

Пункт 7) даёт понять, от скольких параметров зависит рассмотренное нами семейство трапеций: достаточно дополнительно задать один угол, и трапеция будет задана жёстко, а значит, можно будет найти все её элементы (таким образом, это семейство зависит от одного параметра).

Наконец, пункт 8) при всём его сходстве с пунктом 7) показывает, что некоторые наборы геометрических данных могут задавать конечное множество различных объектов (в данном случае различных трапеций может быть две, если длина боковой стороны больше высоты).

Решение такой задачи на уроке может занять до двух часов учебного времени (и всё равно, скорее всего, задача будет решена не полностью). Эта «затратность по времени» естественна, ведь такая постановка задачи гораздо ближе к реальной работе учёного-исследователя, который может работать над задачей и недели, и месяцы.

Как правило, задачи такого типа вызывают у учеников повышенный интерес, дают широкий простор их интеллектуальному творчеству, рассматриваемые многообразные вопросы становятся естественным образом предметом дискуссии, индивидуального или группового исследования. Кроме того, в решении таких задач наиболее уместно использовать различные компьютерные программы (для приведённой выше задачи – программы динамической геометрии: «Живая геометрия», «Geogebra» и др.). Отмеченные нами положительные стороны исследовательских задач неоднократно обсуждались в российском математическом сообществе (см., например, Скопенков, 2008, Сгибнев, Шноль, 2007), однако к массовому применению таких задач это не привело. В чём же причина такого положения?

Исследовательские задачи в российской школе

С конца 80-х годов, когда исследовательские задачи стали использоваться в практике преподавания в российской школе, были подробно описаны и частично применены на практике два основных вида исследовательских работ:
1) индивидуальная внеурочная исследовательская работа ученика, выбранная им по своему желанию,
2) решение исследовательских задач на уроке (индивидуально, по группам или всем классом).

На данный момент первый вид исследовательских работ получил в российских школах довольно заметное развитие и некоторые организационные формы. Во многих школах и регионах проводятся конференции исследовательских работ школьников, где бывают и работы по математике, издано некоторое число книг, содержащих как описания общих подходов в такой работе, так и конкретные задачи исследовательского характера (см., например, Сгибнев, 2015, Иванов и др., 2013, Куланин и др., 2013), проводятся семинары и конференции организаторов этой работы (см., например, http://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/opyt.htm и http://www.mccme.ru/nir/uir/). В последние несколько лет в результате введения в России новых Федеральных государственных образовательных стандартов проектно-исследовательская деятельность стала в российской школе обязательным компонентом образования, в связи с чем в эту деятельность теперь формально вовлечено большинство школьников России. Тем не менее эксперты, работающие в этой области, отмечают, что сколько-нибудь интересные исследовательские работы делаются примерно в двух десятках школ России, так как каждая такая работа требует высококвалифицированного руководителя, и новых идей и задач. Такого богатства не может быть много.

В подавляющем большинстве остальных школ под индивидуальной исследовательской работой понимается полуреферативная работа, в которой ученик проявил некоторую самостоятельность в изложении внепрограммного материала. Разумеется, такая работа, проделанная самостоятельно, может быть во многих отношениях полезной. С другой стороны, при массовом и обязательном применении этой формы работы в российских условиях стоит ожидать потока халтурных компиляций или просто скачанных из интернета работ. Как бы там ни было, внеурочная форма исследовательской работы школьников за последние 20 лет стала заметной частью математического образования в России (со своими плюсами и минусами).

Этого нельзя сказать о второй форме применения исследовательских подходов при обучении математике – работе на уроке в массовой школе. На эту тему публикуются статьи в методических журналах (см., например, Далингер, 2000), делаются доклады на конференциях, пишутся диссертации, но никаких заметных изменений в массовой школе не происходит. При этом, на наш взгляд, как это ни парадоксально звучит, именно обычный, не имеющий специальных склонностей к математике ученик нуждается в знакомстве с исследовательскими задачами на уроке в большей степени, чем ученик, увлечённый математикой. Ученики, любящие математику, стремящиеся решать более сложные и нестандартные математические задачи классического типа, получают удовольствие от встречи с математикой при решении таких задач. Любая нестандартная задача содержит в себе тот или иной элемент исследования, необходимость обобщать, делать предположения, проверять гипотезы и т.д. На долю же «обычного» ученика остаётся усвоение «теоретического материала» и «прорешивание» необходимого для экзамена набора упражнений. Сложные, нестандартные, олимпиадные задачи такому ученику не по силам, в результате чего большинство учеников не получают на уроках математики опыта удовольствия от самостоятельного открытия, а их общие мыслительные умения развиваются недостаточно. Наконец, заметим, что проведение пошагового исследования на уроке математики гораздо ближе к привычной ученику деятельности в области математики, чем написание реферата на заданную тему. Реферативная работа часто воспринимается учениками как отдельная форма деятельности, мало связанная с общими задачами математического образования, исследовательские же задачи поддерживают интерес к основному курсу и развивают разнообразные математические умения, необходимые, в частности, и для успешной сдачи экзаменов.

Причины малого использования исследовательских задач

Попробуем сначала определить основные причины того, что элементы исследования редко используются в массовой школе, а потом предложим некоторые пути изменения этой ситуации.

1) Отсутствие необходимого учебного времени

Проведение учениками самостоятельного или группового исследования по теме, входящей в обязательную программу, а тем более по теме, выходящей за пределы программы, требует дополнительного учебного времени. Систематический рассказ учителя с грамотно выстроенной системой упражнений и задач по новой теме требует в дватри раза меньше времени на её освоение, чем самостоятельная (групповая или индивидуальная) работа учеников, направленная на исследовательское решение новой проблемы. Современные программы по математике в России содержат очень большой объём изучаемого материала, временные затраты на изучение которого рассчитаны авторами программ исходя из традиционных целей и методов преподавания. У учителя практически нет резерва времени, чтобы позволить себе проводить с учениками исследование на уроке. Если это рассуждение и не во всём объективно верно, то воспринимают ситуацию большинство российских учителей именно так.

2) Отсутствие опыта исследовательской работы у самих учителей

Учителя ни в своём школьном детстве, ни при обучении в институте, как правило, не имели опыта исследовательской работы. Многие исследовательские задачи школьного уровня трудны даже для сильных учителей, так как непривычны своей постановкой. Требуются специальные курсы по обучению учителей как решению таких задач, так и организации исследовательской работы в классе. Наш опыт показывает, что заинтересованные учителя овладевают этими умениями и приобретают вкус к решению таких задач достаточно быстро.

3) Отсутствие хорошего набора исследовательских задач, посильных обычным школьникам

Набор хорошо подобранных учебных задач – главный инструмент качественного обучения математике. В отличие от создания упражнений для отработки навыка или технического приёма, создание новой учебной задачи (интересной, красивой, глубокой и т.д.) – процесс творческий и потому непредсказуемый. Невозможно сесть и за два часа придумать хороший набор исследовательских задач по данной теме. Традиция математического образования хранит много прекрасных классических по формулировкам задач, в ней аккумулированы достижения нескольких поколений педагогов-математиков. Однако не очень сложных исследовательских задач пока накоплено явно недостаточно (см. некоторый набор таких задач в книге Сгибнева, 2015). Можно надеяться, что через 20–30 лет совместные усилия педагогов разных стран приведут к тому, что собрание таких задач станет богаче, но на данный момент ни в одном российском учебнике или учебном пособии нет достаточного набора исследовательских задач, которые учитель мог бы регулярно применять при работе в массовой школе.

4) Сложность в планировании и управлении уроком, построенным по модели исследования

Опытный учитель легко создаёт план урока, построенного по традиционным моделям. В классических формах работы легче оценить необходимое время, синхронизировать работу сильных и слабых учеников, давая сильным ученикам дополнительные, более трудные задачи, добиться выполнения поставленных задач. При решении классической задачи опытный учитель может легко подтолкнуть ученика, указав ему следующий шаг решения, при решении же исследовательской задачи это часто сделать гораздо сложнее, и поэтому есть риск, что ученики будут длительное время «буксовать». Одним словом, урок, на котором школьники проводят самостоятельное исследование, требует от учителя больших импровизационных и организационных умений, большей гибкости в определении учебных целей и оценивания их достижения. При современной перегруженности учителей (по моим оценкам, средняя нагрузка составляет 24 учебных часа в неделю) для регулярной подготовки более сложного по форме проведения урока у большинства учителей просто нет ресурсов.

5) Сложность в оценивании исследовательской работы по математике

Часто результатом проведённого на уроке исследования является не полное решение поставленной проблемы, а некоторые частичные продвижения в понимании ситуации. Например, одним из результатов может быть опровержение выдвинутой самим учеником неверной гипотезы. В исследовательской задаче в большей мере важен процесс решения, а не достигнутый результат. Фиксация этого процесса, а тем более оценивание его по некоторым заранее созданным критериям часто вызывает большие трудности. Оценить стандартную самостоятельную (контрольную) работу, проверяющую конкретные умения и навыки по данной теме, гораздо проще, чем исследовательскую работу, в которой отражён индивидуальный ход мысли ученика. Так как система оценивания (система обратной связи с учеником) в целом является проблемной зоной российской школы, учителя опасаются, что без привычного оценивания школьники не будут достаточно серьёзно относиться к такой форме работы. Таким образом, исследовательские задачи причисляют к «полуигровым» приёмам обучения, иногда необходимым для психологической разгрузки, но далёким от основных задач и методов обучения.

6) Влияние заданий итоговой аттестации на формы учебной деятельности на уроке

Какие бы прекрасные задачи математического образования ни были прописаны в концепции развития российского математического образования или в преамбуле учебной программы, реальные формы работы, типы задач, акценты при изучении той или иной темы во многом определяются типами заданий, предлагаемых на итоговой аттестации. В вариантах Единого государственно экзамена по математике только две последние задачи (задача с параметром и задача о свойствах некоторого класса чисел) с большой натяжкой можно назвать задачами на исследование: чтобы справиться с этими задачами при крайне малом количестве времени на экзамене, ученик должен владеть многими нестандартными, хотя формально и не выходящими за рамки программы методами. Однако эти задачи предназначены для учеников самого высокого уровня и на ситуацию с массовым школьным образованием совершенно не влияют. Так как в целом массовое математическое образование в России находится в довольно плачевном состоянии (согласно отчетам ФИПИ около половины выпускников не усваивают программу 10–11 классов), ожидать введения в итоговую аттестацию большего числа задач с элементами исследования не приходится. Таким образом, форма современного экзамена никак не стимулирует учителя и учеников массовой школы решать задачи исследовательского характера.

Некоторые пути решения проблемы
Остановимся подробнее на некоторых из перечисленных выше причин слабого использования исследовательских задач в массовой школе в России и обсудим возможности изменения существующего положения.

1) Где взять время на исследовательские задачи на уроке?
Как уже говорилось выше, существующие школьные программы по математике в России велики по объёму изучаемого материала и поэтому резервного времени на новые формы работы на уроке у учителя практически нет. Достаточно сказать, что с 1980-х годов в программу 7–11 классов введён дополнительный раздел «Теория вероятностей и статистика», сокращений в других частях программы не произошло, а количество часов в базисном учебном плане уменьшилось с шести часов до пяти часов в неделю. Тем не менее при желании и грамотном распределении усилий учитель в обычном классе массовой школы может найти некоторое время для работы над исследовательскими задачами. Как это сделать? Прежде всего, стоит несколько сократить те части курса, где ученики преодолевают чисто технические трудности: громоздкие примеры на действия с дробями, преобразование дробно-рациональных выражений или выражений, содержащих радикалы, и т.п. Например, достаточно добиться того, чтобы все ученики шестого класса могли вычислить значение выражения
Дробь и остановиться на этом уровне сложности. Технически более сложные упражнения отнимают массу времени и ничего не дают для математического развития учеников.

Далее можно выделить такие темы базовой программы, изучение которых наиболее целесообразно проводить с элементами самостоятельного исследования, – такие темы, где на него не потребуется значительно больше времени, а эффект от самостоятельного открытия нового знания может быть наиболее ощутим. Такова, например, тема зависимости расположения графика линейной функции от соответствующих коэффициентов. Эта тема изучается в седьмом классе, уметь строго доказывать эти зависимости от семиклассника не требуется, для их самостоятельного открытия большого количества времени не нужно, а провести эксперимент и постараться сформулировать найденные закономерности ученику очень полезно. Кроме того, под исследовательские задачи на темы, не входящие в основную программу, можно отводить те уроки, которые традиционно «провисают». Это могут быть уроки в конце четверти, когда выставлены все оценки, уроки в конце учебного года, когда у учеников накопилась усталость от традиционных видов деятельности и повторение пройденного даёт малый эффект, «разгрузочные уроки» в середине технически сложных, утомительных тем (например, темы «Действия с обыкновенными дробями»). Другими словами, если вводить исследовательские задачи небольшими порциями там, где это уместно с методической и с психологической точек зрения, то найти для этого время можно даже в современной «спрессованной» российской программе.

Ситуация несколько меняется в старших классах. Недавние перемены в модели ЕГЭ по математике дают учителю большую свободу при работе в 10–11 классах с учениками, не нацеленными сдавать профильный ЕГЭ (например, с учениками гуманитарных классов). Так как большинству учеников нет необходимости тратить все отведённые часы математики на подготовку к базовому ЕГЭ (он достаточно лёгкий), а современная программа позволяет гибко варьировать распределение часов в программе 10–11 классов, учитель может при работе с такими классами широко использовать исследовательские задачи как при повторении курса 5–9 классов, так и при изучении новых тем.

2) Как найти хорошие исследовательские задачи, посильные обычным школьникам?

Для того, чтобы понять где искать хорошие задачи, нужно понять, что такое хорошая исследовательская задача. В замечательной книге А. И. Сгибнева «Исследовательские задачи для начинающих» (см. Сгибнев, 2015) дается следующая характеристика хорошей исследовательской задачи: «хорошая задача для начинающих – та, в которой есть естественный параметр, по которому можно двигаться в исследовании, т.е. легко выделяемая последовательность частных случаев, так что в каждый момент ученик сам понимает, что можно делать дальше» (стр. 6). Добавим, что для работы с обычным классом особенно полезно, когда в решении задачи может быть непривычным для учеников образом использован известный им программный материал. Кроме того, важным критерием при работе с неоднородным классом является возможность движения как небольшими, так и более крупными шагами, а также наличие у задачи естественных обобщений. Один из примеров хорошей исследовательской задачи был приведён в начале статьи, разберём ещё два примера таких задач, позволяющих лучше понять перечисленные выше свойства «хорошей задачи».

Примеры исследовательских задач

Диагонали прямоугольников

1) На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером 2×5 клеток. Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника?
(Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину).

2) Тот же вопрос для прямоугольников 2×6, 2×7, 2×8, 2×9.

3) Найдите закономерность для любого прямоугольника 2×n и обоснуйте её.

4) Проведите подобное исследование для прямоугольников 3×n.

5) Проведите подобное исследование для прямоугольников 5×n, 4×n, 6×n.

6) Проведите исследование для прямоугольника размером mxn.

7) Обобщите задачу.

Можно было, конечно, начать с «нулевого» вопроса: сколько клеток пересекает диагональ в прямоугольнике 1×n, но, на наш взгляд, лучше сразу начинать с нетривиального и потому интересного вопроса, а случай 1×n ученикам всё равно придётся рассмотреть самим в процессе исследования.

Ответ на вопросы 1) и 2) ученик получает экспериментальным путём. Увидеть закономерность нетрудно, достаточно занести данные в таблицу (таблица 1):
Таблица 1

Саму закономерность может сформулировать даже слабый ученик: если длина прямоугольника чётна, то число пересечённых клеток равно этой длине, если нечетна, то это число на 1 больше. Обосновать эту закономерность гораздо сложнее. Это положительное свойство задачи: ученик, увидевший закономерность, но не умеющий её внятно обосновать, начинает лучше осознавать разницу между гипотезой, построенной на эксперименте, и доказанным фактом.

Как натолкнуть учеников на то, что открытую ими закономерность нужно доказывать? Достаточно попросить обосновать ответ для достаточно большого значения параметра n. Например, при попытке ответить на вопрос «Сколько клеток пересечёт диагональ в прямоугольнике 2×1000?» ученик понимает, что нарисовать такой прямоугольник у него не получится и нужно создать некоторое общее рассуждение для обоснования ответа. Каким образом ученики могут это делать? Будем для определённости проводить диагональ из левого нижнего в правый верхний угол (рисунок 2). Наблюдательные ученики замечают, что если длина прямоугольника чётна, то диагональ проходит через узел клетчатой сетки, который находится в центре прямоугольника. Дальше они рассуждают примерно так: диагональ сначала пересекает все клетки левого нижнего прямоугольника размером 1×(n/2), а их n/2 штук, а по- том все клетки такого же правого верхнего прямоугольника, значит, она пересечёт ровно n клеток. Если же n нечётно, то центр прямоугольника находится на общей стороне двух клеток. Значит, в нижней половине диагональ пересечёт (n+1)/2 клеток и в верхней столько же, итого n+1. Таким образом, чтобы провести обоснование, ученику нужно увидеть из рисунка, что в данном случае решающую роль играет то, где находится центр прямоугольника, и с помощью этого нового, никак не упомянутого в условии задачи объекта провести доказательство. Это также является достоинством задачи: доказательство требует изобретения нового метода, при этом шаг нужно сделать не очень большой, он посилен большинству школьников.
Рисунок 2
Рис.2

Перейдем к вопросу 4): исследование прямоугольников 3×n. Во-первых, задание сформулировано более кратко и ученик должен сам догадаться, что стоит начать с эксперимента с небольшими значениями n. Во-вторых, довольно быстро (уже для случая 3×4) будет видно, что закономерность предыдущего пункта прямо не работает: дело не в четности n, а в чем-то другом (в делимости на 3). В-третьих, закономерность в этом пункте более сложная, ее не так просто заметить и сформулировать (таблица 2).
Таблица 2
В-четвертых, обоснование новой закономерности также не может быть перенесено в неизмененном виде из пункта 3).

Это тоже положительное свойство задачи. Сильные школьники,быстро решившие пункты 1–3, здесь должны будут подумать подольше. Более слабые школьники, если они будут упорно экспериментировать, имеют все шансы решить и этот пункт задачи.

Перейдём теперь к рассмотрению общего случая mxn. Как правило, сначала школьники видят, что если m и n взаимно просты, то число пересечённых клеток равно k = m + n – 1. Для доказательства этого факта снова нужна новая идея, и она приходит далеко не всем: нужно посмотреть, сколько вертикальных и горизонтальных линий требуется пересечь, чтобы «добраться» из левой нижней вершины в правую верхнюю. Ясно, что мы должны пересечь все внутренне горизонтальные и вертикальные линии, а в первую клетку мы попадаем, ещё ничего не пересекая, получается формула k = (m – 1)+(n – 1) +1= m + n – 1. В случае, же когда m и n не взаимно просты, зависимость видна далеко не сразу, особенно для сложных случаев типа 6х9. Наконец, ученик может догадаться, что дело в наибольшем общем делителе этих двух чисел, и получить общую формулу k = m + n – d, где d = НОД (m; n). В базовом школьном курсе понятие наибольшего общего делителя вводится прежде всего для того, чтобы складывать обыкновенные дроби, а содержательных задач на использование этого понятия крайне мало. В этой же задаче по комбинаторной геометрии НОД неожиданно даёт ключ к решению задачи в общем виде, чем укрепляет и важность базовых понятий, и связи внутри разных частей математики. Кроме этого, задача имеет естественное продолжение-обобщение: можно рассмотреть диагонали прямоугольных параллелепипедов, разбитых на единичные кубики. С одной стороны, получающаяся задача не является тривиальным следствием уже рассмотренной (нужно понять, что получится, если два ребра параллелепипеда не взаимно просты, а все три взаимно просты), а с другой стороны, эта задача не является слишком сложной после пройденного пути на плоскости.

Стоит отметить, что задача, разобранная выше, за исключением понятия НОД, которое возникает только на последних этапах решения, мало связана с основной школьной программой, и это её очевидный минус в условиях описанного выше дефицита времени.

Разберём другую задачу, имеющую источником базовую школьную конструкцию седьмого класса.

Сумма квадратов двух двучленов
Сколько слагаемых может быть в многочлене стандартного вида, равного сумме квадратов двух двучленов?
Наш опыт говорит о том, что при приведённой выше краткой постановке данная задача ставит в тупик даже достаточно сильных школьников. Многие не понимают, в чём вопрос задачи, многие – с чего нужно начинать её решение.
Поэтому эту задачу стоит разбить на части дополнительными вопросами.

1) Пример. Раскроем скобки в выражении
Выражение 2
равном сумме квадратов двух двучленов:
Выражение 2
Подобных слагаемых нет, и мы получили многочлен стандартного вида, состоящий из шести слагаемых.

2) Приведите пример многочлена стандартного вида, состоящего из пяти членов и равного сумме квадратов двух двучленов.

3) Может ли такой многочлен иметь:
а) 3 члена, б) 2 члена, в) 4 члена?

4) Может ли одночлен быть равен сумме квадратов двух двучленов?

Остановимся сначала на вопросе, почему приведённая выше задача оказывается сложной для подавляющего большинства российских школьников, хотя она основана на теме, которую традиционно знают неплохо (многочлены и формулы сокращённого умножения).

Главная причина в том, что подавляющее большинство задач в российском курсе алгебры является упражнениями, где нужно действовать по известному алгоритму или по аналогии с разобранными учителем задачами. Задания на конструирование алгебраического объекта с заданными свойствами встречаются редко и являются хоть и полезными, но «одноходовками» (придумайте уравнение с заданными корнями или придумайте дробь, не имеющую смысла при х = 2, и т.п.). Данная задача не отсылает школьника к известному ему алгоритму и требует некоторого изобретательства.

Чтобы начать её решать, нужно только одно – не бояться экспериментировать. Большинству школьников в начале решения не понятно, какие нужно выбрать одночлены, чтобы получилось то, что требуется. Правильная стратегия – поставить в скобки что-нибудь и посмотреть, что получится. В результате таких экспериментов многие «набредают» на самые простые случаи: 5 членов и 3 члена. После этого уже более сознательно идёт поиск решения для двух членов. С этими задачами практически любой школьник может справиться за разумное время. Отметим, что по ходу решения ученики уточняют своё понимание тер- мина двучлен, например, многие для случая двух членов предлагают такое решение:
Выражение 3
и не сразу осознают его ошибочность.

Задача про многочлен с четырьмя членами требует новой идеи. Нужно заранее понять, какие члены после раскрытия скобок получатся подобными. Если достаточно долго никаких идей у класса не появляется, то учитель может задать первый квадрат двучлена и попросить придумать второй. В этом случае задача всё ещё остаётся достаточно трудной (наличие такой не разрушающей задачу подсказки – её большой плюс). Например, можно предложить классу первый квадрат двучлена следующего вида:
Выражение 4.
Это предложение хорошо тем, что дальше можно разобрать два различных решения с несколько отличными идеями.

Первое решение. Взаимно уничтожить удвоенные произведения:
Выражение 5
Второе решение. Создать две пары подобных слагаемых:
Выражение 6
Наконец, последний вопрос «Может ли одночлен быть равен сумме квадратов двух двучленов?» является для семиклассников по-настоящему трудным. Можно немного упростить задачу, ограничившись только двучленами от одной и той же переменной, но даже и в этом виде доказательство оказывается практически непосильным семиклассникам. Поэтому в большинстве классов разумно ограничиться обсуждением самого вопроса, выдвижением гипотезы, что такое невозможно, и констатацией того, что пока мы это доказывать не умеем.

Разобранная нами задача, на мой взгляд, является удачным примером исследовательской задачи, построенной на основном программном материале, решение которой позволит как закрепить конкретные предметные навыки, отрабатываемые в этой теме (формулы сокращённого умножения, подобные слагаемые), так и развить исследовательские умения.

Последняя из разобранных задач, а также приведённая в начале статьи задача про трапецию показывают, что для проведения полноценного исследования на уроке совсем не обязательно выходить за рамки школьной программы, изыскивая на это дополнительное время. При внимательном рассмотрении базовых школьных тем в них можно найти материал для создания исследовательской задачи, хотя, как уже говорилось, это дело гораздо более трудное и непредсказуемое, чем составление классических упражнений на данную тему.

3) Как выдержать баланс сложности при формулировке исследовательской задачи для целого класса?

При работе с классом, в котором учатся школьники разного уровня, важной задачей является грамотное построение последовательности подзадач. С одной стороны, первые вопросы должны быть посильны всем, с другой стороны, в задаче должны быть пункты, которые заставят задуматься самых сильных школьников и решение которых принесёт им настоящую радость. Приведённые выше примеры задач удовлетворяли этим условиям.

Мне не раз приходилось видеть (особенно в зарубежных источниках) материалы для исследования на уроке, которые по своей структуре напоминали подробный бухгалтерский отчёт о каждом маленьком продвижении в исследовании, все шаги которого заранее продуманы учителем и даже придуманы критерии по оценке каждого такого шага (см., например, Ho Foo Him, Spario Soon, 2002). Здесь кроется большая опасность: исследовательская задача может стать просто ещё одной рутинной формой учебной работы, где думать уже практически не нужно – просто отвечай на поставленные учителем вопросы. У сильных школьников такая форма работы часто вызывает отторжение, так как она лишает их законного удовольствия преодолеть трудности и получить самостоятельный результат.

По моему мнению, некоторые новые возможности нам могут дать современные компьютерные технологии. Некоторым ученикам, чтобы продвигаться, нужны маленькие ступеньки, некоторым интересно прыгать через две или три ступеньки самостоятельно. Компьютерная среда позволяет это сделать. Нужно разбить задачу на несколько достаточно больших шагов, а для тех, кто самостоятельно такой шаг сделать не может, приготовить указания дальнейшего движения (например, в виде вопросов) и подсказки необходимых новых идей. Таким образом учитель сможет отслеживать не только продвижение каждого ученика, но и время, которое он думал без подсказок, частоту получения помощи учеником и т.п. Насколько мне известно, в России пока нет такой разработанной системы исследовательских задач. Думаю, что создать такую систему – задача ближайшего будущего.

4) Как обучить учителей работе с такими задачами?

По моему опыту, многие учителя любят время от времени менять манеру преподавания, отказываются от привычных учебников в пользу учебников с иным подходом или задачным материалом. Многих учителей привлекает возможность попробовать на своих уроках непривычные для них методики. Так как для того, чтобы научиться использовать исследовательские задачи, учителю нужно самому иметь опыт решения таких задач, то обучение учителей нужно начинать с семинаров по решению таких задач. Проведённые мною за последние несколько лет семинары показывают, что учителя решают такие задачи с большим энтузиазмом, хотя и не без трудностей. Задачи, лично решённые и, так сказать, прожитые учителем в качестве ученика, с большой вероятностью будут применены им на его собственных уроках.

Заключение

Подведём итоги. За последние несколько десятилетий в России сложилось теоретическое понимание того, что применение задач исследовательского типа имеет многие положительные стороны, описанные выше. Тем не менее эти задачи мало встречаются в практике преподавания российской школы. Для возможного изменения сложившегося положения вещей необходимо сделать следующие шаги:

1. Сократить объём обязательного ядра школьной программы за счёт её наиболее технических частей. Это позволит учителю иметь достаточный резерв времени для использования различных методов преподавания, в том числе включения исследовательских задач.

2. Создать открытый банк задач исследовательского типа, посильных ученикам массовых школ. Для этого стоит, в частности, активно использовать зарубежный опыт. В перспективе в этом банке можно было бы реализовать идею разноуровневых указаний и подсказок для учеников.

3. Провести серию семинаров (вебинаров) для учителей по обучению использованию исследовательских задач на уроках математики.

Стоит закончить эту заметку важным в российских условиях замечанием. Чтобы исследовательские задачи не стали очередным разрушителем образования, их нельзя навязывать в качестве обязательного элемента урока. Нужно дать возможность любому учителю решать на уроке те задачи (более классические или более исследовательские), которые представляются ему более подходящими для поставленных им целей. Необходимо понимать, что в большой инерционной системе, какой является национальная школа в любой стране, не стоит ждать значительных перемен в короткие сроки.

Литература

Далингер В.А. (2000). О тематике учебных исследований школьников. Математика в школе, 9.
Иванов С.Г., Рыжик В.И. (2013). Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика». Москва: Просвещение.
Куланин Е.Д., Шихова Н.А. (2013). Исследовательские задачи по геометрии 8–10 классы. Москва: Илекса.
Пойа Д. (1976). Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение, преподавание. Пер. с англ. B.C. Бермана, под ред. И.М. Яглома. Москва: Наука.
Сгибнев А.И. (2015). Исследовательские задачи для начинающих. Москва: МЦНМО.
Сгибнев А.И., Шноль Д.Э. (2007). Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал». Математика № 12, 53–58.
Скопенков А.Б. (2008). Размышления об исследовательских задачах для школьников. Математическое просвещение. Серия 3, вып. 12, с. 23–32.
Шноль Д.Э., Сгибнев А.И., Нетрусова Н.М. (2009). Система открытых задач по геометрии. 7 класс. 8 класс. Москва: Чистые пруды.
Ho Foo Him, Spario Soon. (2002). Patterns and structures. Singapore: Federal publications
Страница сайта МЦНМО об опыте решения школьниками и студентами исследовательских задач: http://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/opyt.htm
Семинар учебно-исследовательских работ школьников по математике: http://www.mccme.ru/nir/uir/

Возможно вы пропустили

Классный час с «Летово»
Классный час с «Летово»
16 Октября 2017
31 октября в 19.00 в DI Telegraph состоится «Классный час с «Летово» – встреча для родителей школьников 6-8 классов, заинтересованных в поступлении в нашу школу, с руководителями, заведующими кафедрами и преподавателями «Летово», экспертами из ведущих российских вузов и бизнес-сообщества.
Мероприятие Food for Thought: как это было
Мероприятие Food for Thought: как это было
22 Сентября 2017
17 сентября в кулинарной студии CULINARYON прошла встреча Food for Thought или «Пища для ума». Случилось то, чего все долго ждали — знакомство коллектива «Летово» с детьми, прошедшими отбор в школу, и их родителями.
Теги: УЧЕНИКИ
Кит Пусей: «Летово» станет крайне успешной школой»
Кит Пусей: «Летово» станет крайне успешной школой»
6 Сентября 2017
В конце июня Кит Пусей приехал в Москву, чтобы дать свою профессиональную оценку программам школы «Летово»
Полезные ресурсы для изучения испанского языка
Полезные ресурсы для изучения испанского языка
7 Августа 2017
Учитель испанского языка школы «Летово» Мария Малинская рекомендует несколько полезных ресурсов, которые помогут легко и интересно выучить второй по популярности язык в мире